دنباله(ریاضیات) - به وبلاگ خودتون خوش آمدید

8:20 عصر چهارشنبه 87/9/6

در ریاضیات دنباله تابعی است با دامنه اعداد طبیعی. این توابع کاربردهای فراوانی در حساب دیفرانسیل و انتگرال و سایر شاخه های ریاضیات دارند و گاهی نیز به فراخور نیاز نام آنها تغییر می یابد. به عنوان مثال در نظریه تحلیلی اعداد به دنباله ها تابع حسابی می گویند

مفهوم دنباله

مجموعه اعداد زوج طبیعی را در نظر بگیرید:

$\mathbb{N}_e=\{2,4,6,8,...,2n,...\}$

اولین عضو این مجموعه عدد 2 است و n امین عضو آن 2n است.

حال مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید:

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,...,n,...\}$

با کمی دقت متوجه می‌شویم که می‌توان یک تابع از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج تعریف نمود که هر عضو از مجموعه اعداد طبیعی را به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر کند.

به عبارت دقیقتر می توان تابع $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}_e$ را با ضابطه $\forall n\in \mathbb{N}:f(n)=2n$ تعریف کرد.اگر این تناظر را به صورت مجموعه زوج های مرتب بنویسیم خواهیم داشت:

f = {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),...,(n,2 n),...}

متوجه می‌شویم تابع f از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج، و هر عضو از دامنه خود را دو برابر می‌کند و به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر می‌کند.

حال در مثالی دیگر تابع $g (x) = (x ? 3) 2 + 1$ را در نظر بگیرید. بیاید بجای اینکه به جای متغیر تابع عددی حقیقی قرار دهیم، متغیرهای طبیعی را جایگزین کنیم. در این صورت داریم:

g (1) = 5, g (2) = 2, g (3) = 1, g (4) = 2,...

مشاهده می‌کنید این تابع نیز هر عدد طبیعی را به عنوان متغیر دریافت می‌کند و آن را به یک عدد دیگر نسبت می‌دهد.

نمونه های دیگری نیز از این توابع وجود دارد مثلاً توابع f(n)=n² یا $f(n)=\sqrt{n}$ ، که در آنها n عددی طبیعی است.

به چنین توابعی که از از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر تعریف می‌شوند دنباله می‌گوییم.

در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 2 از برد تابع را جمله اول، عدد 4 را جمله دوم و به همین ترتیب عدد 2n را جمله n ام دنباله می‌گوییم. همین شیوه برای سایر دنباله‌ها نیز اعمال می‌شود.

به عبارت دقیق تر اگر (f(n ضابطه یک دنباله باشد جمله k ام این دنباله را (f(k تعریف می کنیم.

در یک دنباله، اعداد طبیعی در دامنه به گونه‌ای به اعضای برد متناظر می‌شوند که عدد طبیعی متناظر شده بیانگر شماره آن جمله در برد باشد.

به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 1 در دامنه به عدد 2در برد که اولین جمله دنباله است متناظر می‌شود و عدد 10 از دامنه به عدد 20 از برد که جمله دهم است متناظر می‌شود و به همین ترتیب عدد n‌ در دامنه به عدد 2n از برد که جمله n ام است متناظر می شود.

تعریف دنباله

دنباله (sequence) تابعی است که دامنه آن مجموعه اعداد طبیعی یا قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد. پس در حالت کلی یک دنباله چون f تابعی است از مجموعه اعداد طبیعی به توی یک مجموعه ای دیگر چون A.

$f:\mathbb{N}\to A$

اگر دامنه دنباله قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد دنباله را متناهی می‌گوییم و اگر دامنه دنباله خود مجموعه اعداد طبیعی یا زیرمجموعه ای نامتناهی از آن باشد، دنباله را نامتناهی می‌گوییم.

به عنوان مثال دنباله اعداد طبیعی زوج کوچک‌تر از 10 یک دنباله متناهی است چرا که دامنه آن قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی یعنی

$\mathbb{N}_5=\{1,2,3,4,5\}$

است و دنباله اعداد زوج دنباله‌ای نامتناهی است چرا که دامنه آن خود مجموعه اعداد طبیعی است.

برای مشخص کردن یک دنباله مانند هر تابع دیگر، باید دامنه و ضابطه آن را مشخص کرد. ضابطه یک دنباله را در اصطلاح جمله عمومی آن دنباله می‌گوییم. اگر f یک دنباله باشد جمله عمومی آن را با {(f(n} و یا به صورتی معمول‌تر به صورت {f_n} نشان می‌دهیم.

به عنوان مثال دنباله اعداد طبیعی زوج را به این صورت

{f n} = {2 n}

نشان می دهیم. همچنین برای نمایش مقدار دنباله f به ازای عدد طبیعی از نماد (f(n و یا معمولاً از نماد f_n استفاده می‌کنیم.

به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج داریم:

f 1 = 2, f 2 = 4,..., f n = 2 n

دنباله حقیقی

دنباله {f_n} را دنباله حقیقی می‌گویند هرگاه تابعی از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی باشد.

به عنوان مثال دنباله

$\{a_n\}=\{\frac{n+3}{2n-1}\}$

دنباله‌ای حقیقی است چرا که برد آن از مجموعه اعداد حقیقی است.

لازم به توضیح است معمولاً منظور از دنباله، دنباله ای حقیقی است.

نمودار یک دنباله

از آنجا که دنباله یک تابع با دامنه عداد طبیعی است می‌توان دنباله را به‌وسیله نمودار نیز نمایش داد. این نمایش با دو روش انجام می‌شود. در یک روش می‌توان مانند توابع دیگر آن را در دستگاه مختصات دکارتی رسم کرد و در روشی دیگر می‌توان جملات آن را به همراه ذکر شماره آن جمله روی محور اعداد نشان داد. با ذکر یک مثال دو روش را توضیح می‌دهیم.

به عنوان مثال می‌خواهیم دنباله اعداد زوج را به هر دو روش نشان دهیم:

به‌وسیله رسم نمودار در دستگاه مختصات دکارتی: برای این منظور محور افقی را برای متغیر انتخاب کرده و محور عمودی را برای نمایش تغییرات جملات دنباله استفاده می‌کنیم.

به‌وسیله رسم نمودار روی محور اعداد: برای این منظور روی محور اعداد مقدار جملات دنباله را یافته و شماره جمله را در بالا آن می‌نویسیم.

جمله عمومی یک دنباله

همانطور که گفته شد یک دنباله تابعی با دامنه مجموعه اعداد طبیعی است پس برای دنباله ها در حالت کلی می‌توان ضابطه تعیین کرد که به ضابطه یک دنباله جمله عمومی آن دنباله می‌گویند.

جمله عمومی یک دنباله به منزله یک قانون است که به‌وسیله آن هر عضو از دامنه(مجموعه اعداد طبیعی) به یک عضو از مجموعه برد متناظر می‌شود و به ازای هر مقدار از متغیر n، جملات دنباله را تولید می‌کند.

به عنوان مثال جمله عمومی دنباله اعداد طبیعی زوج به صورت {2n} است که همانند ضابطه تابع به‌وسیله آن می‌توان با قرار دادن هر n طبیعی جمله n ام دنباله را بدست آورد.

البته لازم به ذکر است جمله عمومی همه دنباله ها را نمی توان تعیین کرد.

به عنوان مثال تا کنون جمله عمومی برای دنباله اعداد اول تعیین نشده است. همچنین ممکن است یک سری از اعداد را به عنوان جملات دنباله انتخاب نمود که نتوان میان آنها رابطه ای برقرار نمود و جمله عمومی برای آنها نوشت. حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا با در اختیار داشتن جملات یک دنباله می توان جمله عمومی آن را تعیین کرد؟

پاسخ را با یک مثال بررسی می‌کنیم. دنباله زیر را در نظر بگیرید:

{t n} = {3,5,7,...}

می‌خواهیم جمله عمومی این دنباله را با توجه به جملاتش تعیین کنیم. با مشاهده‌ی جملات ممکن است حدس شما این باشد که این دنباله، دنباله اعداد طبیعی فرد بزرگ‌تر از یک است و جمله عمومی آن را می‌توان به این صورت نوشت:

{t n} = {2 n + 1}

اما این ممکن است یک جمله عمومی برای این دنباله باشد. ممکن است جملات دنباله در ادامه به این روال پیش نروند و جمله چهارم این دنباله عددی چون 9 نباشد!

چرا که ما از جمله سوم به بعد دنباله هیچ اطلاعی نداریم و هر عدد دیگری نیز می‌تواند باشد!

به عنوان مثال جمله عمومی دنباله فوق را می‌توان به این صورت نوشت:

{a n} = {(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) + 2 n + 1}

با نوشتن جملات این دنباله داریم:

{a n} = {3,5,7,15,...}

مشاهده می‌کنید جملات این دنباله تا جمله سوم همانند دنباله {t_n} است ولی از جمله سوم به بعد مانند آن دنباله عمل نمی کند.

پس همواره از روی جملات یک دنباله نمی‌توان جمله عمومی آن را به درستی تعیین کرد. اما معمولاً برای نوشتن جمله عمومی یک دنباله با توجه به جملات آن، ساده ترین حالت را در نظر می‌گیریم. لذا جمله عمومی

{t n} = {2 n + 1}

برای این دنباله و زودتر به ذهن خطور می‌کند.

رابطه بازگشتی و دنباله بازگشتی

به دنباله اعداد زوج دقت کنید: ...,2,4,6,8,10,12

با کمی دقت در می‌یابید که برای بدست آوردن هر جمله کافی است جمله قبل را با عدد دو جمع کنید. به عنوان مثال برای بدست آوردن جمله پنجم(10) کافی است جمله چهارم(8) را با عدد دو جمع کنید. به این رابطه که بین جملات این دنباله برقرار است رابطه بازگشتی می گوییم.

تعریف: در بسیاری از دنباله‌ها بین هر جمله و جملات ماقبل یک رابطه‌ای وجود دارد که به‌وسیله آن می‌توان جملات بعدی را تعیین نمود. به چنین رابطه‌ای، رابطه بازگشتی می‌گوییم و به دنباله‌هایی با این رابطه، دنباله بازگشتی می‌گوییم.

از معروف ترین این دنباله ها می توان به دنباله فیبوناتچی و دنباله لوکا اشاره کرد.

به عنوان مثال دنباله فیبوناتچی دارای چنین رابطه‌ای است که به‌وسیله آن مشخص می‌شود:

$F_1=F_2=1,\forall n onload=$ 2: F_n=F_{n-1}+F_{n-2}" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/d/7/ed794d0f654945713be1153997154a76.png">

که جملات آن به این صورت است: ...,1,1,2,3,5,8,13,21

مشاهده می‌شود برای بدست آوردن هر جمله از جمله دوم به بعد کافی است دو جمله ماقبل آن جمله را با هم جمع کنیم. مثلاً برای محاسبه جمله نهم داریم:

F 9 = F 8 + F 7 = 21 + 13 = 34

یکنوایی دنباله‌ها

دنباله {a_n} را:

صعودی (نا نزولی) می‌گوییم هرگاه

$a_1\le a_2\le a_3\le ...$

یا به عبارت دیگر برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

$a_{n+1}\ge a_n$

همچنین اگر جملات دنباله همگی مثبت باشند صعودی بودن دنباله را می‌توان با شرط زیر بیان کرد:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1$

نزولی(ناصعودی) گوییم هرگاه

$a_1\ge a_2\ge a_3\ge ...$

یا به عبارت دیگر برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

$a_{n+1}\le a_n$

همچنین اگر جملات دنباله همگی مثبت باشند نزولی بودن دنباله را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1$

دنباله صعودی یا نزولی را یکنوا می‌گوییم.

همچنین دنباله {a_n} را اکیداً صعودی می‌گوییم هرگاه برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

a n + 1 > a n

و دنباله را اکیداً نزولی می‌گوییم هرگاه

a n + 1 < a n

یک دنباله را اکیداً یکنوا می‌گوییم هرگاه اکیداً صعودی یا نزولی باشد.

حد دنباله

از آنجا که دنباله نیز تابع می‌باشد می‌توان حد آن را نیز بررسی کرد که برای اطلاع از نحوه تعریف حد دنباله‌ها و محاسبه آنها می‌توانید به مقاله حد دنباله رجوع کنید.

نظر شما ()

لیست کل یادداشت های این وبلاگ

مطالب طنز
[عناوین آرشیوشده]

[ خانه :: پارسی بلاگ :: مدیریت:: پست الکترونیک :: شناسنامه]

اوقات شرعی


	تعداد بازدید:66060
	امروز:21 دیروز :0 RSS


	درباره خودم
	امیررضا طغرلی


	لوگوی خودم



	لوگوی دوستان



	آرشیو
	تانژانت(ریاضیات) دایره مثلثاتی(ریاضیات) سینوس(ریاضیات) تابع(ریاضیات) گسل زمین شناسی گدازه آتشفشان باکتری ها جدول تناوبی عناصر1 جدول تناوبی عناصر2 عجایب هفت گانه احتمال گسسته(ریاضیات) هندسه ابوالحسن بنی صدر فرمول های مهم مثلثاتی(ریاضیات) قانون کسینوس ها(ریاضیات) فرمول اولر(ریاضیات) رادیان(ریاضیات) حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی(ریاضیات) جبر خطی(ریاضیات) فضای برداری(ریاضیات) دنباله(ریاضیات) تابع نمایی(ریاضیات) بهرام گور کروموزوم و میتوز عدسی ها(فیزیک) قانون کولن(فیزیک) ظرفیت گرمایی(فیزیک) قانون هوک(فیزیک) اخترشناسی1 اخترشناسی2 اخترشناسی3 اخترشناسی4 روباتیک باراک اوباما به روایت تصویر اسفند 1387


	اشتراک